Gambar 1


download 67.06 Kb.
jenengGambar 1
KoleksiDokumen
gam.kabeh-ngerti.com > Gambar > Dokumen
BAB IV

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.

Kompetensi Dasar

  1. Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral tertentu.

  2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu.

  3. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan integral tertentu

  4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan integral tertentu.


Bab IV buku ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan panjang busur dan 4) luas permukaan.

Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam buku ini adalah menetukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar.

Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, penulis menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut:

4.1 Luas Suatu Luasan
  • Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang dengan persamaan atau atau yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positip dan luasan negatip. Luasan positip adalah luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu atau luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud.



  • Gambar 4.1




  • Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu atau luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.




Gambar 4.2
Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya dan . Pembahasan dalam buku ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kuva.

  • a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

  • Perhatikan gambar luasan dibawah ini



  • Gambar 4.3




  • R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan

  • Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk



Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :

  1. Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat.

  2. Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu atau sumbu , selanjutnya bagilah luasan dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.

  3. Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas persegi panjang

  4. Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.

  5. Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas luasan.


Contoh:

  1. Segitiga ABC terletak pada , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

Jawab

Gambar segitiga ABC adalah

Gambar 4.4
Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus



Diperoleh persamaan



Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan




  1. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.

Jawab

Luasan yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah
Gambar 4.5
Tampak pada gambar 4.5 di atas luasan yang diketahui (R) berada di atas sumbu x sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu:















  1. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis


Gambar 4.6

Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan










Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :

Gambar 4.7
Luasan R pada gambar 4.7 di atas dibatasi oleh kurva .

Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x dinyatakan dalam bentuk


Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:


Contoh

  1. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis

Jawab

Luasan dan garis dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 4.8
Sehingga luas luasan tersebut adalah





b. Daerah antara dua kurva

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah dan denganpada selang . Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positip dan luasan negatip. Dengan demikian aturan menentukan luas luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.

Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.
Gambar 4.9


Sehingga luas luasan dinyatakan dengan:



Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan


Soal-soal

Gunakah integral tertentu untuk menentukan luas luasan berikut.

  1. Luasan R dibatasi oleh kurva dan



  1. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva , dan



  1. Luasan R dibatasi oleh kurva dan

  2. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva , dan . Kemudian hitunglah luasnya.

  3. Luasan R dibatasi oleh kurva dan



    1. Volume Benda Putar

  1. Pemutaran mengelilingi sumbu X

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu X membentuk bangun berupa benda padat (pejal). Dengan menggunakan integral tertentu volume benda padat tersebut dapat didekati dengan menggunakan rumus: .
Gambar 4.10



Gambar 4.11
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu . Dengan Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:





Gambar 4.12


  1. Pemutaran mengelilingi sumbu Y

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu: .



Gambar 4.13

Gambar 4.14



Gambar 4.15
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu . Dengan Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:



Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :



Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.
Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan sumbu putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang .

Misal pusat cakram dan jari-jari . Maka luas cakram dinyatakan :



Oleh karena itu, volume benda putar :

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :



Bila daerah yang dibatasi oleh , untuk setiap diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:


Bila daerah yang dibatasi oleh untuk setiap diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :


Contoh :

  1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : dan diputar mengelilingi

a. sumbu X.

b. sumbu Y

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).

  1. Pada selang .

Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh



  1. Pada selang

Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh




  1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva : dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di dan Pada selang berlaku .

Jarak kurva terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah dan

.

Sehingga volume benda putarnya adalah:


Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut dan , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :






Bila daerah yang dibatasi oleh diputar mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari dan tinggi tabung Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah



Misal daerah dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar



Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =


Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan



Contoh :

  1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabola

Jawab

dan di atas parabola diputar mengelilingi sumbu Y.

Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada selang dibatasi dan sumbu Y sedang pada selang dibatasi

dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =



  1. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh , sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1

Jawab

Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda pejal, dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,

volume benda putar :



    1. Panjang Busur


Gambar 4.16
Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva Berdasarkan definisi, AB merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur yang menghubungkan titik-titik pada busur itu. Jika banyaknya titik-titik pada kurva banyaknya menuju tak hingga maka panjang tiap tali busur tersebut menuju nol.

Selanjutnya jika dan sebarang dua titik pada kurva dengan turunan adalah yang masing-masing kontinu pada interval maka panjang tali busur dinyatakan oleh

Dengan cara yang sama, jika dan dua titik pada kurva yang persamaannya dinyatakan dengan dengan turunannya adalah yang masing-masing kontinu pada maka panjang busur AB dinyatakan oleh


Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik



Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:


Contoh

  1. Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis antara titik (1,5) dan (3,9). Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak.

Jawab

Karena diperoleh sehingga





Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik




Kedua cara memberikan hasil yang sama.


  1. Tentukan panjang tali busur AB pada kurva jika dan

Jawab

Karena maka atau dan berubah dari dan sehingga








  1. Tentukan panjang tali busur AB pada kurva untuk .

Jawab

Karena maka

sehingga







Dengan menggunakan substitusi .

Misal diperoleh sehingga

Karena maka dan

Karena maka

Sehingga






  1. Tentukan panjang tali busur pada kurva antara

Jawab

Karena maka

Atau sehingga diperoleh



Karena y berubah dari sehingga



\










  1. Tentukan panjang tali busur pada kurva

Jawab

Karena maka dan karena maka

Sehingga diperoleh








Soal-soal

Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan oleh

  1. antara dan

  2. antara dan

  3. antara dan

  4. antara dan







    1. Luas Permukaan Benda Putar

Jika sebuah luasan R yang terbatas bidang mengelilingi salah satu sumbu pada bidangnya maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya dapat ditentukan luasnya dengan menggunakan integral ternntu

Perhatikan gambar berikut.

R adalah suatu luasan yang dibatasai oleh kurva diputar mengelilingi sumbu
Gambar 4.17
Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas di atas diputar mengelilingi sumbu sehingga terbentuk benda pejal

Gambar 4.18
Gambar 4.18 di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas dan

Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adalah



Selanjutnya andaikan dengan cara membuat partisi [a,b] menjadi n bagian dengan menggunakan . Dengan demikian kurva yang terbagi terdiri atas n bagian. Andaikan menyatakan panjang potongan dan andaikan adalah sebuah titik pada potongan . Karena pita potongan diputar mengelilingi sumbu x maka luas pita tersebut dapat dihampiri oleh Apabila luas semua potongan pita dijumlahkan dengan diperoleh luas permukaan benda pejal dan ditunjukkan dengan limit partisi sebagai berikut:




Dengan cara yang sama jika luasan diputar mengelilingi sumbu y dalam batasan garis dan maka luas permukaannya dinyatakan dengan



Jika persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik dengan maka luas permukaan benda pejal dinyatakan oleh rumus


Contoh soal

  1. Luasan R dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu . Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

Gambar 4.19
Karena maka

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:









  1. Luasan R dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu y. dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

Jawab

Gambar 4.20
Karena maka sehingga

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:




















  1. Kurva diputar mengelilingi sumbu x, tentukan luas permukaan benda pejal dengan terlebih dahulu menggambarkan.

Jawab

Gambar 4.21
Karena maka diperoleh

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:
















Soal-soal

  1. Sebuah luasan R dibatasi kurva diputar mengelilingi sumbu x, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

  2. Sebuah luasan R dibatasi kurva diputar mengelilingi sumbu x, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

  3. Sebuah luasan R dibatasi kurva dan diputar mengelilingi sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

  4. Sebuah luasan R dibatasi kurva dan diputar mengelilingi sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

  5. Luasan R dibatasi oleh fungsi parametrik dan diputar menglilingi sumbu x. Tentukan luas permukaannya.











Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-


Share ing jaringan sosial


Similar:

S ebelum kita beranjak membuat gambar ini, ada hal yang harus diketahui...

Dapat merangkai rangkaian seperti gambar yang tertera pada gambar percobaan

Perhatikan gambar di atas! Pada gambar tampak seseorang sedang mendonorkan darahnya. Darah

Gambar=imread(‘gambarkoe jpg’); membaca file gambar

Lihat gambar di bawah dengan teliti. Berdasarkan gambar tersebut,...

Gui adalah tipe antarmuka yang digunakan oleh pengguna untuk berinteraksi...

Buku, akan ada gambar seorang wanita tua yang kurus dan kerempeng...

Memotivasi siswa dengan menunjukkan gambar-gambar tentang gejala- gejala alam

Memotivasi siswa dengan menunjukkan gambar-gambar tentang macam-macam

Gambar merupakan sebuah alat untuk menyatakan maksud dari seorang...

Gambar


Nalika Nyalin materi nyedhiyani link © 2000-2017
kontak
gam.kabeh-ngerti.com
.. Home